Задача 3 (квадрат и середины сторон). Квадрат ABCD с точками M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажи, что четырёхугольник MNKP — квадрат.

Рассмотрим треугольники BMN, CNK, D KP и APM. В каждом из них две стороны равны половинам равных сторон квадрата, а угол между ними прямой. Поэтому все четыре треугольника равны, и MN = NK = KP = PM.

Кроме того, в прямоугольном треугольнике BMN острые углы в сумме составляют 90°. Угол MNK состоит из углов MNB и BNC; второй равен 90° − MNB, так как ∠BNC — острый угол треугольника CNK, равный углу BMN. Следовательно, ∠MNK = 90°. Аналогично остальные углы MNKP прямые.

Четырёхугольник MNKP имеет четыре равные стороны и прямые углы, значит, он является квадратом.