Задача 4. Докажите, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и \(AC\perp BD\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит, \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

Треугольники AOB и COB прямоугольные. У них равны катеты \(AO=OC\) и общий катет BO, поэтому они равны по двум катетам. Следовательно, \(AB=BC\).

Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом. Значит, ABCD — ромб.

Что и требовалось доказать.