Задача 6 (3 балла). Прямая y=12x+49 является касательной к графику функции y=2x^3−3x^2−24x+5. Найдите абсциссу точки касания.

Производная функции f'(x) = d/dx(2x^3−3x^2−24x+5) = 6x^2−6x−24. Уравнение касательной: f'(a)=12 и f(a)=12a+49. Система: 6a^2−6a−24=12 и 2a^3−3a^2−24a+5=12a+49. Решая первое уравнение: 6a^2−6a−36=0, a^2−a−6=0, (a−3)(a+2)=0, a=3 или a=−2. Подставляем a в второе уравнение для проверки.