6. Задача: Периметр прямоугольника равен 28 см. Если одну его сторону увеличить на 3 см, а другую уменьшить на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 3 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение задачи: Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника. Тогда его периметр равен \(2(a + b) = 28\), а площадь равна \(ab\). Из уравнения периметра получаем: \(a + b = 14\), следовательно, \(b = 14 - a\). Если одну сторону увеличить на 3 см, а другую уменьшить на 1 см, то новая площадь будет \((a + 3)(b - 1)\). По условию, новая площадь больше исходной на 3 см²: \((a + 3)(b - 1) = ab + 3\). Подставим \(b = 14 - a\) в уравнение площади: \((a + 3)(14 - a - 1) = a(14 - a) + 3\) \((a + 3)(13 - a) = 14a - a^2 + 3\) \(13a - a^2 + 39 - 3a = 14a - a^2 + 3\) \(10a + 39 = 14a + 3\) \(4a = 36\) \(a = 9\) Теперь найдем \(b\): \(b = 14 - 9 = 5\) Ответ: Стороны прямоугольника равны 9 см и 5 см.