4 Задача: В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы СМ и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Разбираемся:

1. В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°.
2. СМ и АМ - биссектрисы углов С и А соответственно.
3. Следовательно, угол ACM = \frac{1}{2} * 60° = 30° и угол CAM = \frac{1}{2} * 60° = 30°.
4. Рассмотрим треугольник AMC: Угол AMC = 180° - (30° + 60°) = 90°.
5. Найдем углы PAC и MCP: угол PAC = \frac{1}{2} угла BAC = \frac{1}{2} * 60° = 30°. угол MCP = \frac{1}{2} угла ACB = \frac{1}{2} * 60° = 30°.
6. В треугольнике АРС: угол АРС = 180° - (30° + 30°) = 120°.
7. Точка P - точка пересечения биссектрис AM и CN.
8. Так как ABC равносторонний, то AM и CN также являются медианами и высотами.
9. ∠MPN = 180° - ∠APC = 180° - 120° = 60°.