2 Задача: В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Разбираемся:

1. Так как BM - медиана, то AM = MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 84 = 42.
2. BC = BM по условию.
3. Рассмотрим треугольник BHC: BH - высота, следовательно, треугольник BHC прямоугольный.
4. Нужно найти AH. Для этого рассмотрим треугольник ABH, он также прямоугольный, так как BH - высота.
5. Необходимо найти BH. Для этого рассмотрим треугольник BHC.
6. Так как BC = BM, а BM - медиана, то BM = \frac{1}{2}AC = 42. Следовательно, BC = 42.
7. Применим теорему Пифагора к треугольнику BHC: BH^2 + HC^2 = BC^2
8. Найдем HC: HC = AC - AH. Выразим AH = AC - HC.
9. HC = MC + MH = 42 + MH.
10. Тогда BH^2 + HC^2 = BC^2 => BH^2 + (42+MH)^2 = 42^2.
11. Применим теорему Пифагора к треугольнику ABH: AH^2 + BH^2 = AB^2.
12. AB^2 = BC^2 + AC^2 = 42^2 + 84^2. AB = \sqrt{42^2 + 84^2} = \sqrt{1764+7056} = \sqrt{8820} = 42\sqrt{5}.
13. AH^2 + BH^2 = (42\sqrt{5})^2 => AH^2 + BH^2 = 8820.
14. Решить систему уравнений:
    • BH^2 + (42+MH)^2 = 42^2
    • AH^2 + BH^2 = 8820