Задачи 1. Точка A лежит на прямой, отрезок BC пересекает прямую в точке, отличной от его концов. На отрезке AB взяли любую точку M. Докажите, что отрезок CM пересекает эту прямую.

Обозначим данную прямую через ℓ. Так как отрезок BC пересекает ℓ не в концах, точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно ℓ.

1. Точка A лежит на ℓ, а M принадлежит отрезку AB. Поэтому M либо лежит на ℓ (если M=A), либо находится в той же полуплоскости, что и B.
2. Точка C находится в полуплоскости, противоположной той, где лежит B. Следовательно, если M не лежит на ℓ, точки C и M находятся по разные стороны от ℓ.
3. По аксиоме полуплоскостей отрезок CM пересекает ℓ. Если M=A, отрезок CM пересекает ℓ в точке A.

Что и требовалось доказать.