Задачи 3. По одну сторону от прямой взяли 5 точек, а по другую — 8. Сколько отрезков с концами во всех этих 13 точках: а) пересекут прямую; б) не пересекут её?

Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат по разные стороны от неё.

1. Для каждого из 5 точек с одной стороны можно выбрать один из 8 концов на другой стороне. Поэтому прямую пересекут \(5\cdot 8=40\) отрезков.
2. Всего пар точек, а значит, и отрезков с концами в этих 13 точках: \(\binom{13}{2}=\frac{13\cdot12}{2}=78\).
3. Не пересекут прямую остальные: \(78-40=38\).

Ответ: а) 40 отрезков; б) 38 отрезков.