Задачи 2. Отрезок AB пересекает прямую, отрезки AC и BD не пересекают её. На отрезках AC и BD отметили любые точки M и N. Докажите, что отрезок MN пересечёт эту прямую.

Пусть данная прямая — ℓ. Поскольку AB пересекает ℓ, точки A и B лежат по разные стороны от неё. Отрезок AC не пересекает ℓ, значит, A и C находятся в одной полуплоскости. Аналогично, B и D находятся в одной полуплоскости, поскольку BD не пересекает ℓ.

1. Точка M лежит на AC, поэтому она либо находится в полуплоскости точки A и C, либо лежит на ℓ.
2. Точка N лежит на BD, поэтому она либо находится в полуплоскости точки B и D, либо лежит на ℓ.
3. Если M или N лежит на ℓ, отрезок MN уже имеет общую точку с ℓ. Иначе M и N находятся в разных полуплоскостях, поэтому по аксиоме полуплоскостей MN пересекает ℓ.

Что и требовалось доказать.