Задание 7 (2 балла). Докажите неравенство для любых действительных х и у: x² +y ² ≥ 2xy. Используйте алгебраические преобразования и известные тождества.

Докажем неравенство для любых действительных x и y:

$$x^2 + y^2 \ge 2xy$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$$

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$$(x - y)^2 \ge 0$$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, следовательно, неравенство справедливо для любых действительных x и y.

Ответ: Неравенство доказано.