Задание 3: Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася — блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Решение: 1. Обозначим стоимость блокнота как \(b\) и стоимость карандаша как \(k\). 2. Запишем суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася: * Алик: \(2b + 4k\) * Миша: \(b + 6k\) * Вася: \(b + 3k\) 3. Так как эти суммы образуют геометрическую прогрессию, то квадрат среднего члена равен произведению крайних членов: \[(b + 6k)^2 = (2b + 4k)(b + 3k)\] 4. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[b^2 + 12bk + 36k^2 = 2b^2 + 6bk + 4bk + 12k^2\] \[b^2 + 12bk + 36k^2 = 2b^2 + 10bk + 12k^2\] \[0 = b^2 - 2bk - 24k^2\] 5. Решим квадратное уравнение относительно \(b\): \[b^2 - 2bk - 24k^2 = 0\] \[b = \frac{-(-2k) \pm \sqrt{(-2k)^2 - 4(1)(-24k^2)}}{2(1)}\] \[b = \frac{2k \pm \sqrt{4k^2 + 96k^2}}{2}\] \[b = \frac{2k \pm \sqrt{100k^2}}{2}\] \[b = \frac{2k \pm 10k}{2}\] \[b_1 = \frac{2k + 10k}{2} = 6k\] \[b_2 = \frac{2k - 10k}{2} = -4k\] 6. Так как стоимость блокнота не может быть отрицательной, то \(b = 6k\). 7. Теперь выразим стоимость, которую заплатили Алик, Миша и Вася, через \(k\): * Алик: \(2(6k) + 4k = 16k\) * Миша: \(6k + 6k = 12k\) * Вася: \(6k + 3k = 9k\) 8. Проверим, образуют ли эти суммы геометрическую прогрессию: \(\frac{12k}{16k} = \frac{3}{4}\) и \(\frac{9k}{12k} = \frac{3}{4}\). Да, образуют. 9. Если карандаш стоит 1 рубль, то блокнот стоит 6 рублей. Ответ: Блокнот стоит 6 рублей.