Задание 2: Клиент взял в банке кредит 100 рублей на n месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку \(\frac{1}{n}\) часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на 5 рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила 55 руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

Решение: 1. Обозначим первую выплату как \(a_1\). Тогда последняя выплата (n-я) будет \(a_n = 55\). Также известно, что \(a_1 = \frac{100}{n}\). 2. Разница между выплатами составляет 5 рублей, значит, это арифметическая прогрессия с разностью \(d = 5\). 3. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). 4. Подставим известные значения: \(55 = \frac{100}{n} + (n-1)5\). 5. Решим уравнение: \(55 = \frac{100}{n} + 5n - 5\) \(60 = \frac{100}{n} + 5n\) Умножим обе части на n: \(60n = 100 + 5n^2\) \(5n^2 - 60n + 100 = 0\) Разделим на 5: \(n^2 - 12n + 20 = 0\) 6. Решим квадратное уравнение: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) \(n = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)}\) \(n = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}\) \(n = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2}\) \(n = \frac{12 \pm 8}{2}\) \(n_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10\) \(n_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2\) 7. По условию срок кредита превышал полгода (6 месяцев), поэтому \(n = 10\). Ответ: Кредит был выдан на 10 месяцев.