Задание 23. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника АBCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если ВС = 12, а углы В и С четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

1. Шаг 1: Так как точка M равноудалена от всех вершин четырёхугольника ABCD, то M является центром окружности, описанной около этого четырёхугольника, и MA = MB = MC = MD.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольники ABM и CDM. Они равнобедренные (MA = MB и MC = MD).
3. Шаг 3: Угол \(\angle B = 115^\circ\) и \(\angle C = 95^\circ\). Так как сумма углов в четырёхугольнике равна 360°, то сумма углов A и D равна:

   \[ \angle A + \angle D = 360^\circ - 115^\circ - 95^\circ = 150^\circ \]

4. Шаг 4: Поскольку AM = MD, то треугольник AMD - равнобедренный, и \(\angle MAD = \angle MDA = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\).
5. Шаг 5: Тогда \(\angle AMD = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ\).
6. Шаг 6: Используем теорему синусов для треугольника AMD:

   \[ \frac{AD}{\sin(\angle AMD)} = 2R \]

   где R - радиус описанной окружности.

7. Шаг 7: Радиус R равен BM = CM. Рассмотрим треугольник BMC. Угол \(\angle B = 115^\circ\), угол \(\angle C = 95^\circ\). Тогда угол \(\angle BMC = 360^\circ - 115^\circ - 95^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).
8. Шаг 8: Используем теорему синусов для треугольника BMC:

   \[ \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} = 2R \]

   \[ \frac{12}{\sin(120^\circ)} = 2R \]

   \[ \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

   \[ \frac{24}{\sqrt{3}} = 2R \]

   \[ R = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \]

9. Шаг 9: Найдем AD:

   \[ \frac{AD}{\sin(30^\circ)} = 2 \cdot 4\sqrt{3} \]

   \[ AD = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) \]

   \[ AD = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3} \]

Ответ: 4√3