Задание 25. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos∠BAC=√15/4

1. Шаг 1: Найдем длину MN:

   \[ MN = AN - AM = 45 - 12 = 33 \]

2. Шаг 2: Пусть O - центр окружности, касающейся AB в точке K. Тогда OK перпендикулярна AB, и OK - радиус окружности. Обозначим радиус как R.
3. Шаг 3: Используем формулу для радиуса окружности, проходящей через две точки M и N и касающейся прямой AB:

   \[ R = \frac{MN}{2 \sin(\angle MAN)} \]

4. Шаг 4: Зная косинус угла BAC, найдем синус этого угла:

   \[ \sin^2(\angle BAC) + \cos^2(\angle BAC) = 1 \]

   \[ \sin^2(\angle BAC) = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \]

   \[ \sin(\angle BAC) = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \]

5. Шаг 5: Подставим значения в формулу для радиуса:

   \[ R = \frac{33}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{33}{\frac{1}{2}} = 66 \]

Ответ: 66