Задание 5: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, AO = 24 см, OC = 16 см, а отрезок OD на 9 см больше отрезка BO. Найдите диагональ BD трапеции.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники BOC и DOA подобны. Значит, отношение соответствующих сторон равно: \[\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA}] Пусть BO = x, тогда OD = x + 9. Мы знаем, что AO = 24 см и OC = 16 см. Тогда: \[\frac{x}{x+9} = \frac{16}{24}] \[\frac{x}{x+9} = \frac{2}{3}] \[3x = 2(x+9)\] \[3x = 2x + 18\] \[x = 18\] Следовательно, BO = 18 см и OD = 18 + 9 = 27 см. Диагональ BD = BO + OD = 18 + 27 = 45 см. Ответ: BD = 45 см.