Задание 7. В треугольнике стороны равны 5, 7 и √39. Найди радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Чтобы найти радиус описанной окружности, нам понадобится формула, связывающая площадь треугольника, его стороны и радиус описанной окружности. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\] где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр. В нашем случае a = 5, b = 7, c = √39. Сначала найдем полупериметр: \[p = \frac{5+7+\sqrt{39}}{2} = \frac{12+\sqrt{39}}{2}\] Теперь найдем площадь: \[S = \sqrt{\frac{12+\sqrt{39}}{2} \cdot (\frac{12+\sqrt{39}}{2} - 5) \cdot (\frac{12+\sqrt{39}}{2} - 7) \cdot (\frac{12+\sqrt{39}}{2} - \sqrt{39})}\] \[S = \sqrt{\frac{12+\sqrt{39}}{2} \cdot (\frac{2+\sqrt{39}}{2}) \cdot (\frac{-2+\sqrt{39}}{2}) \cdot (\frac{12-\sqrt{39}}{2})}\] \[S = \sqrt{\frac{(144-39)(39-4)}{16}} = \sqrt{\frac{105 \cdot 35}{16}} = \sqrt{\frac{3675}{16}} = \frac{\sqrt{3675}}{4} = \frac{5\sqrt{147}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}\] Теперь, когда мы знаем площадь, мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу: \[R = \frac{abc}{4S}\] Подставим значения: a = 5, b = 7, c = √39, S = \(\frac{15\sqrt{7}}{4}\) \[R = \frac{5 \cdot 7 \cdot \sqrt{39}}{4 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}} = \frac{35\sqrt{39}}{15\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{39}}{3\sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{39}\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{\sqrt{273}}{3}\]

Ответ: √273 / 3