Задание 1. Используя основное тригонометрическое тождество, докажите, что cos 2α = 2 cos² α − 1 и cos 2α = 1 − 2 sin² α.

По формуле косинуса двойного угла: \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\).

Из основного тождества \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) получаем \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\). Поэтому \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\).

Также \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\), следовательно, \(\cos 2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\).