Задание 1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что OC = OB и ∠ABD = ∠ACD. Докажите, что данный четырёхугольник является или равнобедренной трапецией, или прямоугольником.

Пусть общая величина углов ∠ABD и ∠ACD равна α. Так как O лежит на диагоналях BD и AC, имеем ∠ABO = ∠ACO = α. Кроме того, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы, а OB = OC по условию.

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам. Из подобия соответствующих сторон следует, что AB ∥ CD. Значит, ABCD — трапеция с основаниями AB и CD.

Если боковые стороны этой трапеции равны, она равнобедренная. Если равны основания, то ABCD — параллелограмм; поскольку в нём диагонали пересекаются и OB = OC, из подобия следует также равенство соседних сторон, и параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: ABCD — равнобедренная трапеция или прямоугольник.