Задание 7. На стороне BC квадрата ABCD во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник BMC с основанием BC. Известно, что ∠MAD = 75°. Найдите угол BMC.

Пусть сторона квадрата равна s, а вершина равнобедренного треугольника M расположена снаружи квадрата над BC. Выберем координаты: D(0,0), A(s,0), B(s,s), C(0,s). Из-за равенства MB = MC точка M лежит на серединном перпендикуляре к BC, поэтому M = (s/2, s+t).

Угол между AD и AM равен 75°. Тогда наклон AM даёт \(\tan 75°=(s+t)/(s/2)\), откуда \((s+t)/s= frac12\tan75°=1+ \frac{\sqrt3}{2}\). Следовательно, высота равнобедренного треугольника над основанием BC равна \(t=s( frac12+ \frac{\sqrt3}{2})\).

Половина угла при вершине M имеет тангенс \((s/2)/t=1/(1+\sqrt3)= (\sqrt3-1)/2\), что соответствует углу 15°. Поэтому ∠BMC = 30°.

Ответ: ∠BMC = 30°.