Задание 8. Внутрь квадрата ABCD построили равносторонний треугольник AMD. Во внешнюю сторону построили равносторонний треугольник ABK. Докажите, что точки C, M и K лежат на одной прямой.

Пусть сторона квадрата равна 1. Введём координаты: D(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1). Равносторонний треугольник AMD, построенный внутрь квадрата на основании AD, имеет вершину \(M=( frac12, \frac{\sqrt3}{2})\).

Равносторонний треугольник ABK построен снаружи квадрата на вертикальном основании AB. Его третья вершина находится справа от AB: \(K=(1+ \frac{\sqrt3}{2}, frac12)\).

Векторы \(\overrightarrow{CM}=( frac12, \frac{\sqrt3}{2}-1)\) и \(\overrightarrow{CK}=(1+ \frac{\sqrt3}{2},- frac12)\) пропорциональны: их определитель равен нулю. Поэтому точки C, M и K коллинеарны.

Ответ: точки C, M и K лежат на одной прямой.