Задание 10. Длина медианы m., проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле $$m_c = \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{2}}$$. Найдите медиану m., если a=4, b=7 и c=9.

Задание 10. Длина медианы треугольника

Дано:

• Стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 7 \), \( c = 9 \).
• \( m_c \) – медиана, проведённая к стороне \( c \).

Найти: длину медианы \( m_c \).

Решение:

Используем формулу для длины медианы, проведённой к стороне \( c \):

\[ m_c = \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{2}} \]

Подставим известные значения сторон:

\[ m_c = \sqrt{\frac{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 7^2 - 9^2}{2}} \]

Вычислим квадраты чисел:

\[ m_c = \sqrt{\frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot 49 - 81}{2}} \]

Выполним умножение:

\[ m_c = \sqrt{\frac{32 + 98 - 81}{2}} \]

Вычислим числитель под корнем:

\[ 32 + 98 - 81 = 130 - 81 = 49 \]

Теперь подставим результат в формулу:

\[ m_c = \sqrt{\frac{49}{2}} \]

Извлечем корень из числителя:

\[ m_c = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ m_c = \frac{7 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: Длина медианы \( m_c \) равна \(\frac{7\sqrt{2}}{2}\).