Задание 11. Длина биссектрисы L, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле $$L_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}$$. Найдите длину биссектрисы L, если a=7, b=21 и c=26.

Задание 11. Длина биссектрисы треугольника

Дано:

• Стороны треугольника: \( a = 7 \), \( b = 21 \), \( c = 26 \).
• \( L_c \) – биссектриса, проведённая к стороне \( c \).

Найти: длину биссектрисы \( L_c \).

Решение:

Используем формулу для длины биссектрисы, проведённой к стороне \( c \):

\[ L_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)} \]

Сначала найдем сумму \( a+b \):

\[ a+b = 7 + 21 = 28 \]

Теперь найдем сумму \( a+b+c \):

\[ a+b+c = 7 + 21 + 26 = 54 \]

Найдем разность \( a+b-c \):

\[ a+b-c = 7 + 21 - 26 = 28 - 26 = 2 \]

Подставим эти значения в формулу:

\[ L_c = \frac{1}{28} \sqrt{7 \cdot 21 \cdot (54) \cdot (2)} \]

Вычислим выражение под корнем:

\[ 7 \cdot 21 \cdot 54 \cdot 2 = 7 \cdot (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 27) \cdot 2 = 7^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (3^3) \cdot 2 = 7^2 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \]

Извлечем корень:

\[ \sqrt{7^2 \cdot 3^4 \cdot 2^2} = 7 \cdot 3^2 \cdot 2 = 7 \cdot 9 \cdot 2 = 63 \cdot 2 = 126 \]

Теперь найдем \( L_c \):

\[ L_c = \frac{1}{28} \cdot 126 \]

Сократим дробь:

\[ L_c = \frac{126}{28} \]

Оба числа делятся на 14 (126 = 14 * 9, 28 = 14 * 2):

\[ L_c = \frac{9}{2} \]

Ответ: Длина биссектрисы \( L_c \) равна \(\frac{9}{2}\) или 4.5.