Задание 3. Для каждого значения параметра a найдите число корней уравнения 9(5x − 1)a² − (59x − 55)a + 6(x − 1) = 0.

Соберём слагаемые с \(x\): \((45a^2-59a+6)x-9a^2+55a-6=0\). Уравнение линейное относительно \(x\), если коэффициент при нём ненулевой.

Разложим выражение: \(45a^2-59a+6=(9a-1)(5a-6)\), а свободный член равен \(-9a^2+55a-6=-(9a-1)(a-6)\).

1. При \(a=\frac19\) коэффициент и свободный член равны нулю: уравнение верно при любом \(x\), поэтому корней бесконечно много.
2. При \(a=\frac65\) коэффициент при \(x\) равен нулю, а свободный член не равен нулю: корней нет.
3. При остальных значениях \(a\) коэффициент при \(x\) ненулевой, поэтому уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: при \(a=\frac19\) — бесконечно много корней; при \(a=\frac65\) — 0 корней; при остальных \(a\) — 1 корень.