Задание 5. При каких значениях параметра a система {(a − 2)x + 27y = 4,5; 2x + (a + 1)y = −1} имеет бесконечно много решений?

Для бесконечного числа решений уравнения системы должны быть пропорциональны вместе со свободными членами. Определитель коэффициентов должен быть равен нулю:

\((a-2)(a+1)-54=0\), то есть \(a^2-a-56=0\), откуда \((a-8)(a+7)=0\). Проверим оба значения.

1. При \(a=8\) коэффициенты первого уравнения втрое больше коэффициентов второго, но \(4{,}5\ne3\cdot(-1)\). Бесконечного числа решений нет.
2. При \(a=-7\) первое уравнение получается умножением второго на \(-4{,}5\), включая свободный член: \(4{,}5=(-4{,}5)(-1)\). Уравнения задают одну и ту же прямую.

Ответ: \(a=-7\).