Задание 4. Решите уравнение: \(a^{2x-1}=b^{5-x}\).

Для действительных степеней предполагаем \(a>0\), \(b>0\). Логарифмируем обе части: \((2x-1)\ln a=(5-x)\ln b\).

Если \(2\ln a+\ln b\ne0\), собираем слагаемые с \(x\): \(x(2\ln a+\ln b)=\ln a+5\ln b\), поэтому \(x=\dfrac{\ln a+5\ln b}{2\ln a+\ln b}\).

Если \(2\ln a+\ln b=0\), уравнение сводится к \(0=6\ln a\). Тогда при \(a\ne1\) решений нет, а при \(a=1, b=1\) равенство верно при любом \(x\).

Ответ: при положительных \(a,b\) и \(2\ln a+\ln b\ne0\), \(x=\dfrac{\ln a+5\ln b}{2\ln a+\ln b}\); если знаменатель равен нулю, решений нет, кроме случая \(a=b=1\), когда подходит любое \(x\).