Задание 5. Решите уравнение: \(3-\log_{a^2}(1+x)=3\log_a\sqrt{x-1}-\log_{a^2}(x^2-1)^2\).

Область допустимых значений: \(a>0\), \(a\ne1\), \(x>1\). Обозначим логарифм по основанию \(a^2\) через \(L\). Тогда \(\log_a\sqrt{x-1}=L(x-1)\), а \(\log_{a^2}(x^2-1)^2=2L(x^2-1)\).

Правая часть равна \(3L(x-1)-2L(x^2-1)=L(x-1)-2L(x+1)\). После сокращения одинаковых слагаемых уравнение принимает вид \(3=L\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\).

Отсюда \(\dfrac{x-1}{x+1}=a^6\), то есть \(x=\dfrac{1+a^6}{1-a^6}\). Условие \(x>1\) выполняется только при \(0<a<1\).

Ответ: при \(0<a<1\), \(x=\dfrac{1+a^6}{1-a^6}\); при остальных допустимых значениях \(a\) решений нет.