Задание 7. Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3√3 и 3 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O₁A, которая пересекла окружность ω₂ в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O₁O₂ и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O₁ и O₂.

Обозначим радиусы окружностей через R₁ = 3√3 и R₂ = 3, а расстояние между центрами — через d. Выберем ось O₁O₂ горизонтальной. Хорда AB перпендикулярна линии центров, поэтому можно записать A = (x, h), B = (x, −h), а центры — O₁ = (0, 0), O₂ = (d, 0).

Поскольку BC параллельна O₁A и точка C лежит на линии центров, прямая BC достигает оси в точке C = (d, 0), то есть C совпадает с O₂. Тогда CA и CB образуют угол 60°. Для симметричных точек A и B имеем cos ∠ACB = (d²/4 − h²)/(d²/4 + h²) = 1/2, откуда d²/4 = 3h².

Из того, что A лежит на окружности с центром O₁, следует d²/4 + h² = (3√3)² = 27. Подставляем d²/4 = 3h²: 4h² = 27, значит h² = 27/4 и d² = 81.

Ответ: 9.