Задание 81. Найдите x, используя данные рисунка. 1) ABCD — квадрат, AB = 6; x — радиус вписанной окружности. 2) ABCD — квадрат; радиус вписанной окружности равен 4, CD = x. 3) ABCD — квадрат, AB = 2, OR = x; квадрат вписан в окружность с центром O. 4) ABCD — квадрат, OR = 3√2, AB = x; квадрат вписан в окружность с центром O.

Вписанная в квадрат окружность касается сторон, поэтому её диаметр равен стороне квадрата. Значит, \(2x=AB=6\), откуда \(x=3\).

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: \(x=CD=2\cdot4=8\).

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, является диаметром окружности. При стороне \(AB=2\) диагональ равна \(2\sqrt{2}\), поэтому \(OR=x=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Для вписанного в окружность квадрата сторона равна радиусу, умноженному на \(\sqrt{2}\). Следовательно, \(x=AB=OR\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6\).