Задание 11 Биссектрисы углов К и М треугольника KLM пересекаются в точке 1. На сторонах KL и LM выбраны соответственно точки Р и Q так, что КР = PI, MQ = QI. Докажите, что точки Р, І и Q лежат на одной прямой.

Поскольку КР = PI, то треугольник KPI — равнобедренный, и $$\angle PKI = \angle PIK$$. Так как IК – биссектриса угла К, то $$\angle PKI = \angle IKL$$. Следовательно, $$\angle PIK = \angle IKL$$, и прямая PI параллельна KL (накрест лежащие углы равны).

Аналогично, поскольку MQ = QI, то треугольник MQI — равнобедренный, и $$\angle QMI = \angle QIM$$. Так как IM – биссектриса угла М, то $$\angle QMI = \angle IML$$. Следовательно, $$\angle QIM = \angle IML$$, и прямая QI параллельна ML (накрест лежащие углы равны).

Поскольку биссектрисы углов K и M пересекаются в точке I, то точка I равноудалена от сторон KL и LM. Таким образом, точки P, I и Q лежат на одной прямой, параллельной стороне KM треугольника KLM.

Ответ: Точки P, I и Q лежат на одной прямой.