Задание 4. Докажите тождество (3 балла): sin α 1 + cos a + 1 + cos a sin a 2

Ответ: Тождество доказано.

1. Приведем левую часть к общему знаменателю:
2. (sin α / (1 + cos α)) + ((1 + cos α) / sin α) = (sin²α + (1 + cos α)²) / ((1 + cos α)sin α)
3. Раскроем скобки:
4. (sin²α + 1 + 2cos α + cos²α) / ((1 + cos α)sin α)
5. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1
6. (1 + 1 + 2cos α) / ((1 + cos α)sin α) = (2 + 2cos α) / ((1 + cos α)sin α)
7. Вынесем 2 за скобки:
8. 2(1 + cos α) / ((1 + cos α)sin α)
9. Сократим (1 + cos α):
10. 2 / sin α
11. 2 / sin α = 2 * (1/sin α) = 2csc α = 2
12. Таким образом, левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.