Задания, оцениваемые в 15 баллов. 3. Найдите наибольший общий делитель всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).

Рассмотрим разность двух таких чисел, полученных перестановкой первых двух цифр, например 123456 и 213456. Их разность равна 90000 = 9 · 10000. Аналогично, перестановка двух соседних цифр на позициях с разностью разрядных значений 1, 10, 100, 1000 или 10000 даёт разности, равные соответственно 9, 90, 900, 9000 или 90000, умноженным на разность этих цифр. Среди разностей цифр есть 1, поэтому любой общий делитель всех чисел должен делить 9.

Каждое из чисел делится на 3, поскольку сумма его цифр равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Но не каждое делится на 9: например, 123456 не делится на 9, так как сумма цифр 21 не кратна 9. Следовательно, общий делитель равен 3.

Ответ: 3.