245*. Зеленый газон имет форму прямоугольника (рис. 283). Дорожка АС образует угол 30° со стороной DC, дорожка DO проходит через середину дорожки АС. Дорожка DK перпендикулярна дорожке АС, КО = 8 м. Найдите длину декоративного заборчика, который огораживает треугольный участок AOD.

Ответ: AO = OD = 16 м, AD = 16\(\sqrt{3}\) м; P = 32 + 16\(\sqrt{3}\) м

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольник, где ∠ACD = 30°, KO = 8 м, DK ⊥ AC.

2. В прямоугольном треугольнике DOC угол ∠DOC = 90° - 30° = 60°.

3. Так как DO проходит через середину AC, то AO = OC. Рассмотрим треугольник AOD. Так как DO проходит через середину AC, то ∠AOD = 2∠DOC = 2 \cdot 60° = 120°.

4. Тогда ∠OAD = ∠ODA = (180° - 120°)/2 = 30°. Следовательно, треугольник AOD равнобедренный, и AO = OD.

5. В прямоугольном треугольнике DOK угол ∠ODK = 90° - ∠DOC = 90° - 60° = 30°. Так как ∠ODK = 30°, то OD = 2KO = 2 \cdot 8 = 16 м.

6. Тогда AO = OD = 16 м.

7. В прямоугольном треугольнике ADK угол ∠DAK = 30°, следовательно, DK = \(\frac{1}{2}\) AD.

8. Применим теорему Пифагора для треугольника ADK:

   \[AD^2 = DK^2 + AK^2\] \[AD^2 = (\frac{1}{2}AD)^2 + (AO + OK)^2\] \[AD^2 = \frac{1}{4}AD^2 + (16 + 8)^2\] \[AD^2 - \frac{1}{4}AD^2 = 24^2\] \[\frac{3}{4}AD^2 = 576\] \[AD^2 = \frac{4 \cdot 576}{3}\] \[AD^2 = 768\] \[AD = \sqrt{768} = 16\sqrt{3} \text{ м}\]

9. Тогда периметр треугольного участка AOD равен:

   \[P = AO + OD + AD = 16 + 16 + 16\sqrt{3} = 32 + 16\sqrt{3} \text{ м}\]

Ответ: AO = OD = 16 м, AD = 16\(\sqrt{3}\) м; P = 32 + 16\(\sqrt{3}\) м