27 Значение дроби $$\frac{x^3+x^2+4x+2}{x^2-x+1}$$ при $$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$ равно 1) $$\sqrt{17}$$ 2) $$\sqrt{17}+3$$ 3) $$\sqrt{17}+1$$ 4) $$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$ 5) $$\sqrt{17}+2$$.

Значение дроби $$\frac{x^3+x^2+4x+2}{x^2-x+1}$$ при $$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$

1. Выполним деление многочлена на многочлен столбиком.
2. $$\begin{array}{r|l}x^3+x^2+4x+2&x^2-x+1\\\hline x^3-x^2+x&x+2\\\hline 2x^2+3x+2\\\hline 2x^2-2x+2\\\hline 5x\end{array}$$
3. Тогда $$\frac{x^3+x^2+4x+2}{x^2-x+1}=x+2+\frac{5x}{x^2-x+1}$$.
4. Подставим $$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$ в $$\frac{x^3+x^2+4x+2}{x^2-x+1}$$:$$\frac{(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^3+(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^2+4(\frac{1+\sqrt{17}}{2})+2}{(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^2-(\frac{1+\sqrt{17}}{2})+1}$$
5. $$\frac{x^3+x^2+4x+2}{x^2-x+1}=x+2+\frac{5x}{x^2-x+1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}+2=\frac{1+\sqrt{17}+4}{2}=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$$
6. $$\frac{(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^3+(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^2+4(\frac{1+\sqrt{17}}{2})+2}{(\frac{1+\sqrt{17}}{2})^2-(\frac{1+\sqrt{17}}{2})+1}=\sqrt{17}+2$$
7. $$x+2 = \frac{1+\sqrt{17}}{2}+2 = \frac{1+\sqrt{17}+4}{2} = \frac{5+\sqrt{17}}{2}$$
8. $$x^2-x+1 = (\frac{1+\sqrt{17}}{2})^2-\frac{1+\sqrt{17}}{2}+1 = \frac{1+2\sqrt{17}+17}{4}-\frac{1+\sqrt{17}}{2}+1 = \frac{18+2\sqrt{17}-2-2\sqrt{17}+4}{4} = \frac{20}{4} = 5$$
9. $$\frac{5x}{x^2-x+1} = \frac{5(\frac{1+\sqrt{17}}{2})}{5} = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$
10. $$x+2+\frac{5x}{x^2-x+1} = \frac{1+\sqrt{17}}{2}+2 = \frac{1+\sqrt{17}}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5+\sqrt{17}}{2} = \frac{5}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Ответ: 5) $$\sqrt{17}+2$$