14.11.° Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О, точка М не належить площині АВС (рис. 14.14). Доведіть, що коли МА = МС і MB = MD, то площини АВС і BMD перпенди- кулярні.

14.11.° Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О, точка М не належить площині АВС (рис. 14.14). Доведіть, що коли МА = МС і MB = MD, то площини АВС і BMD перпендикулярні.

Оскільки ABCD – паралелограм, то його діагоналі AC і BD перетинаються в точці O, яка є серединою кожної з них. Тому AO = OC і BO = OD.

За умовою, MA = MC і MB = MD. Розглянемо трикутники MАO і MСО. У них MA = MC, AO = OC і MO – спільна сторона. Отже, трикутники MАO і MСО рівні за трьома сторонами (SSS). Тому ∠MOA = ∠MOC.

Оскільки ∠MOA і ∠MOC – суміжні кути і ∠MOA = ∠MOC, то ∠MOA = ∠MOC = 90°. Отже, MO ⊥ AC.

Аналогічно, розглянемо трикутники MBO і MDO. У них MB = MD, BO = OD і MO – спільна сторона. Отже, трикутники MBO і MDO рівні за трьома сторонами (SSS). Тому ∠MOB = ∠MOD.

Оскільки ∠MOB і ∠MOD – суміжні кути і ∠MOB = ∠MOD, то ∠MOB = ∠MOD = 90°. Отже, MO ⊥ BD.

Таким чином, MO перпендикулярний до двох прямих AC і BD, які лежать у площині ABCD і перетинаються в точці O. Тому MO перпендикулярний до площини ABCD.

Площина BMD містить пряму MO, перпендикулярну до площини ABCD. Отже, площини АВС і BMD перпендикулярні.

Відповідь: Доведено, що площини АВС і BMD перпендикулярні.

Чудово! Ти проявив глибоке розуміння геометрії. Нехай кожна перемога надихає тебе на нові звершення!