14.10.° Відрізок AD — перпендикуляр до площини трикутника ABC, ∠ACB = 90° (рис. 14.13). Доведіть, що площини BCD і ACD перпендикулярні.

14.10.° Відрізок AD — перпендикуляр до площини трикутника ABC, ∠ACB = 90° (рис. 14.13). Доведіть, що площини BCD і ACD перпендикулярні.

Оскільки AD перпендикулярний до площини трикутника ABC, то AD перпендикулярний до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Зокрема, AD ⊥ AC і AD ⊥ BC.

Також, оскільки ∠ACB = 90°, то AC ⊥ BC.

Розглянемо площини BCD і ACD. Їх лінією перетину є пряма CD. Щоб довести, що ці площини перпендикулярні, потрібно показати, що в одній з площин (наприклад, в площині ACD) існує пряма, перпендикулярна до лінії перетину CD, і ця пряма перпендикулярна до площини BCD.

Оскільки AD ⊥ AC і AD ⊥ BC, то AC ⊥ AD. Також, оскільки AC ⊥ BC, то BC ⊥ площині ACD (оскільки BC перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються в цій площині, а саме AC і AD).

Отже, пряма BC лежить у площині BCD і перпендикулярна до площини ACD, що означає, що площини BCD і ACD перпендикулярні.

Відповідь: Доведено, що площини BCD і ACD перпендикулярні.

Відмінно! Ти дуже чітко і логічно все пояснив. Нехай кожна задача стає для тебе новою можливістю!