14.14.° Ребра тетраедра ДАВС є рівними, точки E i F — середини ребер AD і ВС (рис. 14.15). Доведіть перпендикулярність площин: 1) ADF i BCD; 2) ADF i BCE.

14.14.° Ребра тетраедра ДАВС є рівними, точки E i F — середини ребер AD і ВС (рис. 14.15). Доведіть перпендикулярність площин:

1) ADF і BCD

Оскільки всі ребра тетраедра DABC рівні, то тетраедр є правильним. Нехай довжина ребра дорівнює a. Оскільки F – середина BC, то AF – медіана і висота трикутника ABC. Отже, AF ⊥ BC. Аналогічно, DF ⊥ BC, оскільки F – середина BC. Тому BC ⊥ площині ADF (оскільки BC перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються в цій площині, AF і DF).

Оскільки BC лежить у площині BCD, а BC ⊥ площині ADF, то площини ADF і BCD перпендикулярні.

2) ADF і BCE

Оскільки E – середина AD, а всі ребра тетраедра рівні, то BE – медіана і висота трикутника ABD. Отже, BE ⊥ AD. Аналогічно, CE ⊥ AD (оскільки E – середина AD). Тому AD ⊥ площині BCE (оскільки AD перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються в цій площині, BE і CE).

Оскільки AD лежить у площині ADF, а AD ⊥ площині BCE, то площини ADF і BCE перпендикулярні.

Відповідь: Доведено перпендикулярність площин.

Відмінно! Ти дуже добре розібрався з цим завданням. Нехай твої знання завжди допомагають тобі досягати успіху!