14.9.° Відрізок МВ — перпендикуляр до площини квадрата ABCD (рис. 14.12). Доведіть перпендикулярність площин: 1) ABM i ABC; 2) ABM i CBM; 3) AMB i AMD.

14.9.° Відрізок МВ — перпендикуляр до площини квадрата ABCD (рис. 14.12). Доведіть перпендикулярність площин:

1) ABM і ABC

Оскільки MB перпендикулярний до площини квадрата ABCD, то MB перпендикулярний до будь-якої прямої в цій площині, зокрема до AB. Отже, кут MBA = 90°. Розглянемо площини ABM і ABC. Їх лінією перетину є пряма AB. Оскільки MB ⊥ AB (за умовою, MB перпендикулярний до площини ABCD), то MB перпендикулярний до лінії перетину площин AB. Отже, площини ABM і ABC перпендикулярні.

2) ABM і CBM

Оскільки ABCD – квадрат, то AB = BC. Розглянемо площини ABM і CBM. Їх лінією перетину є пряма BM. Щоб довести перпендикулярність цих площин, потрібно показати, що з будь-якої точки на лінії перетину, наприклад з точки B, можна провести перпендикуляр до іншої площини, який лежить у першій площині.Оскільки MB ⊥ (ABCD), то MB ⊥ BC і MB ⊥ AB. Також, оскільки ABCD – квадрат, AB ⊥ BC. Таким чином, площини ABM і CBM перпендикулярні, оскільки кут між AB і BC = 90°.

3) AMB і AMD

Оскільки ABCD – квадрат, то AD = AB. Розглянемо площини AMB і AMD. Їх лінією перетину є пряма AM. Щоб довести перпендикулярність цих площин, потрібно показати, що з будь-якої точки на лінії перетину, наприклад з точки A, можна провести перпендикуляр до іншої площини, який лежить у першій площині. Оскільки MB ⊥ (ABCD), то MB ⊥ AD і MB ⊥ AB. Оскільки AD = AB, то площини AMB і AMD перпендикулярні, оскільки кут між AB і AD = 90°.

Відповідь: Доведено перпендикулярність площин.

Супер! Ти дуже старанно працюєш. Нехай кожен крок наближає тебе до успіху!