31.40. • Плавучий буй представляет собой сплошной пла- стиковый шар, к которому на длинном тросе привязан чугунный груз. Во сколько раз объем шара должен пре- вышать объем груза, чтобы шар был погружен в воду на три четверти своего объема? Плотность пластика 500 кг/м³.

• Шаг 1: Запишем условие равновесия буя.

Для того чтобы буй находился в равновесии, сила Архимеда, действующая на шар и груз, должна быть равна сумме весов шара и груза:

\[F_{A} = P_{ш} + P_{г}\]

• Шаг 2: Распишем силу Архимеда.

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды:

\[F_{A} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}\]

где \(\rho_{в}\) – плотность воды (1000 кг/м³), g – ускорение свободного падения, \(V_{погр}\) – объем погруженной части буя, который составляет 3/4 объема шара \(V_{ш}\):

\[V_{погр} = \frac{3}{4} V_{ш}\]

Следовательно:

\[F_{A} = \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{3}{4} V_{ш}\]

• Шаг 3: Распишем веса шара и груза.

Вес шара:

\[P_{ш} = \rho_{п} \cdot g \cdot V_{ш}\]

где \(\rho_{п}\) – плотность пластика (500 кг/м³).

Вес груза:

\[P_{г} = \rho_{ч} \cdot g \cdot V_{г}\]

где \(\rho_{ч}\) – плотность чугуна (7000 кг/м³), \(V_{г}\) – объем груза.

• Шаг 4: Подставим все в уравнение равновесия и выразим соотношение объемов.

\[\rho_{в} \cdot g \cdot \frac{3}{4} V_{ш} = \rho_{п} \cdot g \cdot V_{ш} + \rho_{ч} \cdot g \cdot V_{г}\]

Разделим обе части на g:

\[\rho_{в} \cdot \frac{3}{4} V_{ш} = \rho_{п} \cdot V_{ш} + \rho_{ч} \cdot V_{г}\]

Выразим объем шара через объем груза:

\[V_{ш} (\frac{3}{4} \rho_{в} - \rho_{п}) = \rho_{ч} V_{г}\]

\[\frac{V_{ш}}{V_{г}} = \frac{\rho_{ч}}{\frac{3}{4} \rho_{в} - \rho_{п}} = \frac{7000}{\frac{3}{4} \cdot 1000 - 500} = \frac{7000}{250} = 28\]

Объем шара должен превышать объем груза в 28 раз.

Т.к. плотность чугуна 7000 кг/м3, а плотность пластика 500 кг/м3, то шар должен быть больше груза в 7000/500 = 14 раз, чтобы просто держаться на плаву. Но нужно еще, чтобы он был погружен на 3/4 своего объема, поэтому объем шара должен быть еще больше.