31.42. Наполненный теплым воздухом воздушный шар объемом 1600 м³ парит на высоте 5,5 км, где плотность воздуха в два раза меньше, чем на уровне моря. Какова плотность воздуха внутри шара, если масса его оболочки и груза 150 кг?

• Шаг 1: Запишем условие равновесия шара.

Для того чтобы шар парил, сила Архимеда должна быть равна сумме веса оболочки и груза и веса теплого воздуха внутри шара:

\[F_{A} = P_{об} + P_{возд}\]

• Шаг 2: Распишем силу Архимеда.

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:

\[F_{A} = \rho_{внеш} \cdot g \cdot V\]

где \(\rho_{внеш}\) – плотность воздуха на высоте 5,5 км, g – ускорение свободного падения, V – объем шара.

Плотность воздуха на высоте 5,5 км в два раза меньше, чем на уровне моря, то есть \(\rho_{внеш} = 1.29 / 2 = 0.645 кг/м³\).

\[F_{A} = 0.645 \cdot g \cdot 1600\]

• Шаг 3: Распишем веса оболочки и груза и теплого воздуха.

Вес оболочки и груза:

\[P_{об} = m_{об} \cdot g = 150 \cdot g\]

Вес теплого воздуха:

\[P_{возд} = \rho_{внутр} \cdot g \cdot V\]

где \(\rho_{внутр}\) – плотность теплого воздуха внутри шара.

\[P_{возд} = \rho_{внутр} \cdot g \cdot 1600\]

• Шаг 4: Подставим все в уравнение равновесия и выразим плотность воздуха внутри шара.

\[0.645 \cdot g \cdot 1600 = 150 \cdot g + \rho_{внутр} \cdot g \cdot 1600\]

Разделим обе части на g:

\[0.645 \cdot 1600 = 150 + \rho_{внутр} \cdot 1600\]

\[\rho_{внутр} = \frac{0.645 \cdot 1600 - 150}{1600} = \frac{882}{1600} \approx 0.55 кг/м³\]

Получается, что плотность воздуха внутри шара должна быть меньше, чем плотность воздуха снаружи. Это возможно, если воздух внутри шара нагреть.