31.44. Объем оболочки воздушного шара 200 м³. Шар натягивает трос, которым он прикреплен к причальной мачте, с силой 400 Н. После освобождения троса шар парит на некоторой высоте. Какова плотность воздуха на этой высоте?

• Шаг 1: Запишем условие равновесия шара до освобождения троса.

До освобождения троса на шар действуют сила Архимеда, сила натяжения троса и сила тяжести:

\[F_{A} = P + T\]

где \(F_{A}\) – сила Архимеда, P – сила тяжести, T – сила натяжения троса.

• Шаг 2: Запишем условие равновесия шара после освобождения троса.

После освобождения троса шар парит, то есть сила Архимеда равна силе тяжести:

\[F_{A} = P\]

или

\[\rho \cdot V \cdot g = m \cdot g\]

• Шаг 3: Выразим плотность воздуха.

\[\rho = \frac{m}{V}\]

где m – масса шара (включая оболочку и газ), V – объем шара.

Из первого уравнения:

\[F_{A} = P + T = mg + T\]

\[\rho_{0} \cdot V \cdot g = mg + T\]

где \(\rho_{0}\) – плотность воздуха у поверхности земли.

Выразим массу шара:

\[m = \frac{\rho_{0} \cdot V \cdot g - T}{g}\]

Подставим во второе уравнение:

\[\rho = \frac{\rho_{0} \cdot V \cdot g - T}{V \cdot g} = \rho_{0} - \frac{T}{V \cdot g}\]

• Шаг 4: Подставим значения.

\[\rho = 1.29 - \frac{400}{200 \cdot 9.8} = 1.29 - 0.204 = 1.086 кг/м³\]