11. ★☆☆ На сторонах АВ И ВС тре- угольника АВС взяли точки Ди Е так, что BD = ВЕ, а угол ADC равен углу АЕС. Докажите, что АЕ = CD.

Дано: ∆ABC, BD = BE, ∠ADC = ∠AEC.

Доказать: AE = CD.

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆BDE: BD = BE, следовательно, ∆BDE - равнобедренный, значит углы при основании равны, т.е. ∠BDE = ∠BED.

2) ∠ADE = 180° - ∠BDE, ∠AEC = 180° - ∠BED.

Тогда ∠ADE = ∠BEC = ∠AEC.

3) Рассмотрим ∆ADE и ∆BEC:

BD = BE (по условию);

∠ADE = ∠AEC (доказано выше);

AE - общая сторона.

∆ADE = ∆BEC по стороне и двум прилежащим углам, следовательно, AE = CD.

Ответ: AE = CD, что и требовалось доказать.