10. ★☆☆ На сторонах АВ И ВС тре- угольника АВС взяли точки М и К так, что АМ = СК, ВМ = ВК. Дока- жите, что АК = СМ. ( рис.)

Дано: ∆ABC, AM = CK, BM = BK.

Доказать: AK = CM.

Доказательство:

AB = AM + MB, BC = BK + KC

Т.к. AM = CK, BM = BK, то AB = BC.

∆ABC - равнобедренный, значит углы при основании равны, т.е. ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим ∆АKС и ∆СMA:

AM = CK (по условию);

∠BAC = ∠BCA (доказано выше);

AC - общая сторона.

∆АKС = ∆СMA по двум сторонам и углу между ними, следовательно, AK = CM.

Ответ: AK = CM, что и требовалось доказать.