9. ... ★☆☆ На сторонах угла взяли точки А и В на равных расстояниях от вер- шины. На биссектрисе этого угла взя- ли точку О. Докажите, что АО = ВО.

Дано: угол, точки A и B на сторонах угла, OA = OB, O - на биссектрисе угла.

Доказать: AO = BO.

Доказательство:

Пусть угол имеет вершину в точке C, тогда CA = CB (по условию).

Так как OC - биссектриса угла, то ∠ACO = ∠BCO.

Рассмотрим треугольники ACO и BCO:

AC = BC (по условию);

∠ACO = ∠BCO (по условию);

OC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ACO и BCO равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AO = BO.

Ответ: AO = BO, что и требовалось доказать.