✓ (3. Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на раз- ных окружностях оснований цилиндра. Найдите расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра, если его высота равна 5 см, а радиус основания равен 10 см. а) 7,5 см; б) 6/2 см; в) 9 см; г) 8 см.

Решение:

Отрезок АВ равен 13 см, точки А и В лежат на разных окружностях оснований цилиндра. Высота цилиндра равна 5 см, а радиус основания равен 10 см. Найти расстояние от отрезка АВ до оси цилиндра.

1. Найдем проекцию отрезка АВ на плоскость основания цилиндра. Обозначим проекцию отрезка АВ на плоскость основания как А1В. Тогда треугольник АВА1 - прямоугольный, где АА1 - высота цилиндра. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2\] \[13^2 = 5^2 + A_1B^2\] \[A_1B^2 = 169 - 25 = 144\] \[A_1B = 12 \text{ см}\]
2. Теперь рассмотрим основание цилиндра. Пусть О - центр основания, а М - середина отрезка A1B. Тогда ОМ - перпендикуляр к A1B и является расстоянием от центра основания до отрезка A1B. Треугольник OA1B - равнобедренный, так как OA1 = OB = R = 10 см. Тогда A1M = A1B/2 = 12/2 = 6 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМА1. По теореме Пифагора: \[OA_1^2 = OM^2 + A_1M^2\] \[10^2 = OM^2 + 6^2\] \[OM^2 = 100 - 36 = 64\] \[OM = 8 \text{ см}\]

Ответ: г) 8 см.

Проверка за 10 секунд: Сначала примени теорему Пифагора для нахождения проекции отрезка, а затем еще раз для нахождения расстояния от проекции до оси.

База: Важно помнить теорему Пифагора и уметь применять её в пространственных задачах.