7. Сфера ш проходит через вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние от центра сферы — точки О до плоскости квадрата, если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол, равный 60°. а) 8/2 см; 6) 6/3 см; в) 4/10 см; г) 6/6 см.

Решение:

Сфера проходит через вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 12 см. Найти расстояние от центра сферы О до плоскости квадрата, если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол, равный 60°.

1. Диагональ квадрата: \[d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ см}\] Половина диагонали квадрата: \[\frac{d}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]
2. Рассмотрим треугольник ODK, где К - проекция точки О на плоскость квадрата. Тогда угол ODK = 60°. OK - расстояние от точки О до плоскости квадрата. OD - радиус сферы. DK = d/2 = \(6\sqrt{2}\) см. В прямоугольном треугольнике ODK: \[\tan(60°) = \frac{OK}{DK}\] \[OK = DK \cdot \tan(60°) = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6} \text{ см}\]

Ответ: г) \(6\sqrt{6}\) см

Проверка за 10 секунд: Разделите диагональ квадрата пополам и умножьте на тангенс 60 градусов.

База: Важно помнить значение тангенса 60 градусов и уметь применять тригонометрические функции в пространственных задачах.