8. Стороны треугольника АВС касаются шара. Найдите радиус шара, если АВ = 8 см, ВС = 10 см, АС = 12 см и расстояние от центра шара О до плоскости тре- угольника АВС равно √2 см. а) 3/3 см; б) 2/3 см; в) 3 см; г) 3/2 см.

Решение:

Стороны треугольника АВС касаются шара. АВ = 8 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС равно \(\sqrt{2}\) см. Найти радиус шара.

1. Пусть r - радиус шара, d - расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Тогда: \[r = \sqrt{d^2 + r_{впис}^2}\] где \(r_{впис}\) - радиус вписанной в треугольник окружности.
2. Найдем полупериметр треугольника: \[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 10 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}\]
3. Площадь треугольника по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{1575} = 15\sqrt{7} \text{ см}^2\]
4. Радиус вписанной окружности: \[r_{впис} = \frac{S}{p} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7} \text{ см}\]
5. Тогда радиус шара: \[r = \sqrt{d^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\]

Ответ: в) 3 см

Проверка за 10 секунд: Примените формулу Герона для нахождения площади, затем формулу радиуса вписанной окружности, и наконец, основную формулу для нахождения радиуса шара.

Уровень эксперт: Для решения этой задачи нужно знать формулу Герона, формулу радиуса вписанной окружности и связь между радиусом шара, расстоянием до плоскости треугольника и радиусом вписанной окружности.