№ 7. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка С так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника, зная три стороны.

Площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$a, b, c$$ - стороны треугольника.

Треугольник АВК:

1. Найдем полупериметр треугольника АВК: $$p = \frac{AB + BK + AK}{2} = \frac{13 + 13 + 6}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}$$.
2. Найдем площадь треугольника АВК: $$S_{ABK} = \sqrt{16(16-13)(16-13)(16-6)} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10} = \sqrt{1440} = 12\sqrt{10} \approx 37.95 \text{ см}^2$$.

Треугольник СВК:

1. Найдем полупериметр треугольника СВК: $$p = \frac{BC + CK + BK}{2} = \frac{14 + 9 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$.
2. Найдем площадь треугольника СВК: $$S_{CBK} = \sqrt{18(18-14)(18-9)(18-13)} = \sqrt{18 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 5} = \sqrt{3240} = 18\sqrt{10} \approx 56.92 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$S_{ABK} = 12\sqrt{10} \approx 37.95 \text{ см}^2$$, $$S_{CBK} = 18\sqrt{10} \approx 56.92 \text{ см}^2$$.