№ 4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи необходимо найти основания трапеции и её высоту.

1. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$, $$AB$$ и $$CD$$ - основания, $$AD$$ и $$BC$$ - боковые стороны, причём $$CD$$ - большая боковая сторона, $$CD = 8$$ см. Угол $$A = 60^\circ$$. Высота $$BH$$ делит основание $$AD$$ пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. В нём угол $$A = 60^\circ$$, значит угол $$ABH = 30^\circ$$. Так как высота $$BH$$ является катетом, лежащим против угла 30°, то $$AH = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$$.
3. Найдем высоту $$BH$$: $$BH = CD \cdot \sin{60^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.
4. Так как высота $$BH$$ делит основание $$AD$$ пополам, то $$AH = HD$$. Проведём высоту $$CK$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AH = KD$$. Следовательно, $$AK = BC$$.
5. Рассмотрим прямоугольник $$BCKH$$. Тогда $$BC = KH$$. Также $$AD = AK + KD = BC + AH$$.
6. $$AH = 4$$ см, значит $$AK = AD - AH = AD - 4 \text{ см}$$.
7. Чтобы найти площадь трапеции, необходимо знать основания и высоту. Площадь трапеции $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{AD + AD - 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (AD - 2) \cdot 4\sqrt{3}$$.

К сожалению, недостаточно данных для однозначного определения площади трапеции. Необходимо знать длину основания AD или BC.

Ответ: Недостаточно данных для решения задачи.