№8. Дано: ВС = АС. Найдите угол ABD.

Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны.

$$∠BAC = ∠ABC = 30°$$

Сумма углов треугольника равна 180°.

$$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 30° = 120°$$

Сумма смежных углов равна 180°.

$$∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 120° = 60°$$

Треугольник ACD равнобедренный, следовательно, углы при основании равны.

$$∠CAD = ∠CDA = \frac{180° - ∠ACD}{2} = \frac{180° - 60°}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$$

Треугольник ACD равносторонний, все углы равны 60°.

$$∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 60° = 90°$$

$$∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°$$

$$∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30°$$

Ответ: $$15°$$