№4. Найти AB

В прямоугольном треугольнике ABC, CH - высота, опущенная на гипотенузу AB. По теореме о пропорциональных отрезках: $$AC^2 = AH \cdot AB$$, $$BC^2 = BH \cdot AB$$. Из условия, $$AC=12$$, $$BH=8$$. Пусть $$AH = x$$, тогда $$AB = AH + BH = x + 8$$. $$AC^2 = AH \cdot AB$$, $$12^2 = x(x+8)$$, $$144 = x^2 + 8x$$, $$x^2 + 8x - 144 = 0$$. Решаем квадратное уравнение: $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 64 + 576 = 640$$. $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{640}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{10}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{10}$$. Так как $$AH > 0$$, то $$AH = -4 + 4\sqrt{10}$$. $$AB = AH + BH = -4 + 4\sqrt{10} + 8 = 4 + 4\sqrt{10} = 4(1 + \sqrt{10})$$. **Ответ: $$AB = 4(1 + \sqrt{10})$$**